Calcul infinitésimal Exemples

${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6.3

Placez ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}} \cos (x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Séparez les fractions.

$\frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 9.2

Convertissez de $\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ à ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 9.3

Associez $\frac{\cos (x)}{3}$ et ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Étape 9.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$