Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (\ln (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (\ln (x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (\ln (x))$ .

$2 \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (x)$ .

$2 \sin (\ln (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (\ln (x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (x)$ .

$2 \sin (\ln (x)) (\cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $2$ .

$\frac{2}{x} \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x))$

Étape 4.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\sin (\ln (x))$ .

$\frac{2 \sin (\ln (x))}{x} \cos (\ln (x))$

Étape 4.3

Associez $\frac{2 \sin (\ln (x))}{x}$ et $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{2 \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x))}{x}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{\sin (2 \ln (x))}{x}$

Étape 5.2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\sin (\ln (x^{2}))}{x}$