Calcul infinitésimal Exemples

$\arcsin (3 x^{4})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x^{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (x^{4}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 (x^{4})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} {(x^{4})}^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (9 {(x^{4})}^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (9 x^{4 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (9 x^{8})}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.4

Associez $3$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} (4 x^{3})$

Étape 2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.6.1

Associez $4$ et $\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} x^{3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} x^{3}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{12}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}}$