Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{9}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$ .

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Étape 3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 e^{x} x^{8}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{8}]$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{8}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{8}$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7}) + x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7}) + x^{8} e^{x})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7})) + 9 (x^{8} e^{x})$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $8$ par $9$ .

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 72 (e^{x} (x^{7})) + 9 (x^{8} e^{x})$

Étape 4.2.2

Additionnez $e^{x} (9 x^{8})$ et $9 x^{8} e^{x}$ .

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$9 x^{8} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $9 x^{8} e^{x}$ et $9 x^{8} e^{x}$ .

$18 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 e^{x} x^{8} + e^{x} x^{9} + 72 e^{x} x^{7}$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $18 e^{x} x^{8} + e^{x} x^{9} + 72 e^{x} x^{7}$ .

$18 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$