Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + \sin (x) e^{x} + \cos (x) e^{x}$

Étape 6.3

Associez des termes.

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Étape 6.3.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Étape 6.3.2

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Étape 6.3.3

Additionnez $- e^{x} \sin (x)$ et $e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + 0 + \cos (x) e^{x}$

Étape 6.3.4

Additionnez $e^{x} \cos (x)$ et $0$ .

$e^{x} \cos (x) + \cos (x) e^{x}$

Étape 6.3.5

Additionnez $e^{x} \cos (x)$ et $\cos (x) e^{x}$ .

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Étape 6.3.5.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Étape 6.3.5.2

Additionnez $e^{x} \cos (x)$ et $e^{x} \cos (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x)$