Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x \sqrt{7 x - 15}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 x - 15}$ comme ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}] + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 7 x - 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.3

Placez ${(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.4

Associez $\frac{1}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x - 15] + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 11

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13

Multipliez $7$ par $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 + 0) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15.2

Associez $\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ et $7$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 7}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15.3

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 \cdot x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 17

Multipliez ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 18

Pour écrire ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 19

Associez ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Multipliez ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Déplacez ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.5

Divisez $2$ par $2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Simplifiez ${(7 x - 15)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + (7 x - 15) \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.2

Déplacez $2$ à gauche de $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + 2 \cdot (7 x - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Associez $e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{7 x + 2 (7 x - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x - 15))}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x) + 2 \cdot - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 2 \cdot - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x - 30)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.2

Additionnez $7 x$ et $14 x$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (21 x - 30)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 30}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 30}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.5

Déplacez $- 30$ à gauche de $e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 \cdot e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.4

Factorisez $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ à partir de $21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.4.1

Déplacez $e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.4.2

Factorisez $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ à partir de $21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.4.3

Factorisez $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ à partir de $- 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) + 3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (- 10)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.4.4

Factorisez $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ à partir de $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) + 3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (- 10)$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x - 10)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$