Calcul infinitésimal Exemples

$e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Étape 2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Étape 2.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Étape 2.5

Déplacez $6$ à gauche de $e^{6 x}$ .

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc (x) \cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$ .

$6 e^{6 x} - \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 3.5

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$6 e^{6 x} - (- (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 e^{6 x} - (- {\csc (x)}^{1 + 2} + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 3.8

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

Étape 3.9

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

Étape 3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Étape 3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) \cot^{2} (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 e^{6 x} - - \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 e^{6 x} + 1 \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Étape 4.2.2

Multipliez $\csc^{3} (x)$ par $1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + 1 (\csc (x) \cot^{2} (x))$

Étape 4.2.4

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + \csc (x) \cot^{2} (x)$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cot^{2} (x) \csc (x) + 6 e^{6 x} + \csc^{3} (x)$