Calcul infinitésimal Exemples

$\ln ({(3 + e^{x})}^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 + e^{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) e^{x})$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $e^{x}$ et $\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$ .

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $3 + e^{x}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $3 + e^{x}$ à partir de ${(3 + e^{x})}^{2}$ .

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{x}}{3 + e^{x}}$