Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (3 x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3 x}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.1

Associez $3$ et $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 5.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Étape 5.8.2

Factorisez $x$ à partir de $x - 2 \ln (3 x) x$ .

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Étape 5.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Étape 5.8.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

Étape 5.8.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 \ln (3 x) x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Étape 5.8.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{2 x^{3}}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Simplifiez $- 2 \ln (3 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln ({(3 x)}^{2})}{2 x^{3}}$

Étape 8.2

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$\frac{1 - \ln (3^{2} x^{2})}{2 x^{3}}$

Étape 8.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 - \ln (9 x^{2})}{2 x^{3}}$