Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (7 x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{7 x}$ et $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $7$ et $\frac{x^{4}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.4.2.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.6

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 4.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.8.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Étape 4.8.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

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Étape 4.8.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Étape 4.8.2.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Étape 4.8.2.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Simplifiez $- 5 \ln (7 x)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

Étape 6.3

Élevez $7$ à la puissance $5$ .

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$