Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (x)}{\ln (x + 1)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Étape 2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Étape 3

Associez $\ln (x + 1)$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{x (\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 6.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{x + 1}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \frac{\ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 7.2

Associez $x$ et $\frac{\ln (x)}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 7.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + 0)}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \cdot 1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 7.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 8

Pour écrire $\ln (x + 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 10

Réécrivez $\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$ comme un produit.

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1} \cdot \frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 11

Multipliez $\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}$ par $\frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x + 1) (x \ln^{2} (x + 1))}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $\ln (x + 1)$ par $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.3

Associez des termes.

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Étape 12.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x^{1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1 + 1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + x) \ln^{2} (x + 1)}$

Étape 12.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x \ln (x + 1) - x \ln (x) + \ln (x + 1)}{\ln^{2} (x + 1) (x^{2} + x)}$