Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (x)}{\ln (x) + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x) + 1$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + 0)}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 6

Pour écrire $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 7

Associez $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 9

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \cdot 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 11

Multipliez $\ln (x) + 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{\ln (x) + 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 12

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 14

Réécrivez $\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{\ln (1) + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 15

Multipliez $\frac{\ln (1) + 1}{x}$ par $\frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\ln (1) + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0 + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Étape 16.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$