Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{5} (x^{8} + x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{5} (x)$ et $g (x) = x^{8} + x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{8} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log_{5} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{8} + x$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{8} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (8 x^{7} + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)}$

Étape 3.3

Factorisez $x \ln (5)$ à partir de $x^{8} \ln (5) + x \ln (5)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x \ln (5)$ à partir de $x^{8} \ln (5)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5)}$

Étape 3.3.2

Factorisez $x \ln (5)$ à partir de $x \ln (5)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5) (1)}$

Étape 3.3.3

Factorisez $x \ln (5)$ à partir de $x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5) (1)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$

Étape 3.4

Multipliez $8 x^{7} + 1$ par $\frac{1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$ .

$\frac{8 x^{7} + 1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$