Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{2} (x^{2} + 10 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{2} (x)$ et $g (x) = x^{2} + 10 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log_{2} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x])$

Étape 2.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)}$

Étape 3.3

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $x^{2} \ln (2)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + 10 x \ln (2)}$

Étape 3.3.2

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $10 x \ln (2)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)}$

Étape 3.3.3

Factorisez $x \ln (2)$ à partir de $x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$

Étape 3.4

Multipliez $2 x + 10$ par $\frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$ .

$\frac{2 x + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 10$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Étape 3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 5}{x \ln (2) (x + 10)}$

Étape 3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x \ln (2) (x + 10)}$