Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{4 x + 8}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 8}]$ comme $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $4 x + 8$ comme $2^{2} (x + 2)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 8}]$

Étape 1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (2)}]$

Étape 1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (2)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 2)}]$

Étape 1.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 2)}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 8.3

Placez ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 8.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$