Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\cos (x)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\cos (x)}$ comme ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 7.3

Placez ${\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x))$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Séparez les fractions.

$- (\frac{\sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 10.2

Convertissez de $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ à ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{\sin (x)}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3

Associez $\frac{\sin (x)}{2}$ et ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (x) {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\sin (x) {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{{\sec (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$