Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 18}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x^{2} + 12 x + 18}$ comme ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 x^{2} + 12 x + 18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} + 12 x + 18$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} + 12 x + 18$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 7.3

Placez ${(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 18]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 12 x + 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 11

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 12

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 14

Multipliez $12$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 15

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12 + 0)$

Étape 16

Additionnez $6 x + 12$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12)$

Étape 17

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (6 x + 12)$ .

$(6 x + 12) \frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2

Multipliez $6 x + 12$ par $\frac{1}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 x + 12}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.3

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) + 12}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.4

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 6}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (6)$ .

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 ({(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x + 6)}{2 {(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x + 6}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.7

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.7.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{{(3 x^{2} + 12 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$