Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{\frac{2 x + 5}{3 x + 2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{\frac{2 x + 5}{3 x + 2}}$ comme ${(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = \frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + 5$ et $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (3 x + 2) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.12

Associez les fractions.

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Étape 9.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.12.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 9.12.3

Multipliez $\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2} \cdot 3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 9.12.4

Déplacez $3$ à gauche de ${(3 x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 \cdot {(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{3 x + 2}{2 x + 5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5

Associez des termes.

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Étape 10.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{6 x + 4 - 6 x - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.4

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{6 x + 4 - 6 x - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.5

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{0 + 4 - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.6

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{4 - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.7

Soustrayez $15$ de $4$ .

$\frac{- 11}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.9

Multipliez $\frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{11}{3 {(3 x + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 11}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} (3 {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 10.5.10

Déplacez $11$ à gauche de ${(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11 \cdot {(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} (3 {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 10.5.11

Déplacez $3$ à gauche de ${(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11 {(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 10.5.12

Placez ${(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}$

Étape 10.5.13

Multipliez ${(3 x + 2)}^{2}$ par ${(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.13.1

Déplacez ${(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} ({(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2})}$

Étape 10.5.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Étape 10.5.13.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Étape 10.5.13.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Étape 10.5.13.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Étape 10.5.13.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.13.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Étape 10.5.13.6.2

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{4}{3}}}$