Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{3 x}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2

Comme $3^{\frac{1}{3}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 10

Associez $3^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Placez $3^{\frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}}$

Étape 11.2

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 12

Multipliez $3$ par $3^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Multipliez $3$ par $3^{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 12.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3^{1 - \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3^{\frac{3 - 1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 12.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$