Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x^{6} - 7 x^{5} + 3}{x^{4}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ et $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{6}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.5

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.8

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + 0) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.10

Additionnez $12 x^{5} - 35 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 2.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.12.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.12.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

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Étape 2.12.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4})$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 2.12.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Étape 2.12.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{12 x \cdot x^{5} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{12 (x^{5} x) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

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Étape 4.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (x^{5} x^{1}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 x^{5 + 1} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.2.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{12 x^{6} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{12 x^{6} - 35 x \cdot x^{4} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.4.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 4.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x^{1}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{4 + 1} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.4.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $- 7$ par $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Étape 4.3.1.7

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $8 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{6} - 35 x^{5} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 35 x^{5}$ et $28 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{6} - 7 x^{5} - 12}{x^{5}}$