Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{{(9 x - 4)}^{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(9 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{({(9 x - 4)}^{3})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 x - 4)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 2.3

Multipliez ${(9 x - 4)}^{3}$ par $1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 9 x - 4$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x - 4$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x - 4$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (3 {(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 4.2

Factorisez ${(9 x - 4)}^{2}$ à partir de ${(9 x - 4)}^{3} - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez ${(9 x - 4)}^{2}$ à partir de ${(9 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 4.2.2

Factorisez ${(9 x - 4)}^{2}$ à partir de $- 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) + {(9 x - 4)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 4.2.3

Factorisez ${(9 x - 4)}^{2}$ à partir de ${(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) + {(9 x - 4)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{6}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez ${(9 x - 4)}^{2}$ à partir de ${(9 x - 4)}^{6}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{2} {(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{2} {(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 9

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 10

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 + 0)}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 11

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 11.1

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x \cdot 9}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 11.2

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$\frac{9 x - 4 - 27 x}{{(9 x - 4)}^{4}}$

Étape 11.3

Soustrayez $27 x$ de $9 x$ .

$\frac{- 18 x - 4}{{(9 x - 4)}^{4}}$