Calcul infinitésimal Exemples

$2 x {(4 - x)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(4 - x)}^{2}$ comme $(4 - x) (4 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 x ((4 - x) (4 - x))]$

Étape 2

Développez $(4 - x) (4 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

Étape 3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Étape 3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

Étape 3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

Étape 3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 8 x + x^{2})]$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x (16 - 8 x + x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 16 - 8 x + x^{2}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}] + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - 8 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.6

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$2 (x (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \cdot 1)$

Étape 6.9

Multipliez $16 - 8 x + x^{2}$ par $1$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot - 8 + x (2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot - 8) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$2 (- 8 \cdot x) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$- 16 x + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 16 x + 2 (2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 16 x + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3.8

Multipliez $2$ par $16$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Étape 7.3.9

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 - 16 x + 2 x^{2}$

Étape 7.3.10

Soustrayez $16 x$ de $- 16 x$ .

$- 32 x + 4 x^{2} + 32 + 2 x^{2}$

Étape 7.3.11

Additionnez $4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$- 32 x + 6 x^{2} + 32$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{2} - 32 x + 32$