Calcul infinitésimal Exemples

$2 x {(x - 4)}^{3}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(x - 4)}^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Étape 4.6

Multipliez ${(x - 4)}^{3}$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Étape 5.3

Factorisez $2 {(x - 4)}^{2}$ à partir de $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 {(x - 4)}^{2}$ à partir de $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 {(x - 4)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 {(x - 4)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Étape 5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Étape 5.5

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 5.6

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 5.7.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 5.7.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Étape 5.7.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Étape 5.9

Simplifiez

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Étape 5.9.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$(2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Étape 5.9.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Étape 5.10

Développez $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.11.2.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x \cdot x - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.11.6.1

Déplacez $x$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 (x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.7

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.8

Multipliez $- 4$ par $- 16$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.9

Multipliez $4$ par $32$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Étape 5.11.10

Multipliez $32$ par $- 4$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Étape 5.12

Soustrayez $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Étape 5.13

Additionnez $64 x$ et $128 x$ .

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$