Calcul infinitésimal Exemples

$2 \arccos (\sqrt{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \arccos (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \arccos (x^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arccos (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arccos (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{1}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Simplifiez

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 13

Multipliez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \sqrt{1 - x}}$

Étape 14

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{1 - x}}$

Étape 14.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$