Calcul infinitésimal Exemples

$2 x e^{5 x^{3}}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{5 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{5 x^{3}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x^{3}}] + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x^{3}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{3}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{3}$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 (3 x^{2}))) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (15 x^{2})) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (x^{2 + 1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 (x^{3} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Déplacez $15$ à gauche de $e^{5 x^{3}}$ .

$2 (x^{3} (15 \cdot e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \cdot 1)$

Étape 9

Multipliez $e^{5 x^{3}}$ par $1$ .

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}})) + 2 e^{5 x^{3}}$

Étape 10.2

Multipliez $15$ par $2$ .

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$

Étape 10.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$ .

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$