Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ augmente et diminue est $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Étape 6.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (3) = - 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 4)$ .

Diminue sur $(- \infty, 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (5) = - 1$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 7.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(4, \infty)$ .

Diminue sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Étape 9