Calcul infinitésimal Exemples

$2 x \sin (2 x + 2)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \sin (2 x + 2)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x + 2)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (2 x + 2)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 2)] + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x + 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 2$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 + 0)) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) \cdot 2) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x + 2)$ .

$2 (x (2 \cdot \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (2 \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2) \cdot 1)$

Étape 4.8

Multipliez $\sin (2 x + 2)$ par $1$ .

$2 (x (2 \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (2 \cos (2 x + 2))) + 2 \sin (2 x + 2)$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x \cos (2 x + 2) + 2 \sin (2 x + 2)$