Calcul infinitésimal Exemples

$3 \sqrt{x} \ln (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Étape 1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$3 (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 13

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.2

Associez des termes.

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Étape 15.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.2.2

Associez $3$ et $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$