Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} - x - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - x - \frac{1}{\sqrt{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$8 x - 1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x - 1 - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x - 1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 x - 1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x - 1 - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x - 1 - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x - 1 - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 4.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x - 1 - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$8 x - 1 - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 x - 1 - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 x - 1 - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x - 1 - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.14

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.15.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 x - 1 - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.15.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$8 x - 1 - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 x - 1 - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.16

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x - 1 - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 x - 1 + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.18

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$8 x - 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.19

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $0$ .

$8 x - 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

Étape 4.20

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ et $0$ .

$8 x - 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$