Calcul infinitésimal Exemples

$- 4 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{7}{3}} + 8$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{7}{3}} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{3}$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.7

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 4 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.8

Associez $- 4$ et $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 4 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.9

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$\frac{- 20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{7}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{3}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.7

Associez $\frac{7}{3}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.8

Associez $3$ et $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.9

Multipliez $7$ par $3$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{21 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.10

Factorisez $3$ à partir de $21 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.11.4

Divisez $7 x^{\frac{4}{3}}$ par $1$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}} + 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Additionnez $- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}}$ et $0$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$