Calcul infinitésimal Exemples

$36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

Étape 1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ .

$36 (x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 7)}^{2}] + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x^{4} + 7$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{4} + 7$ .

$36 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{4} + 7$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + 0)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $12 x^{3}$ et $0$ .

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3})) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$36 (x^{3} (24 (3 x^{4} + 7) x^{3}) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$36 (x^{3} x^{3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 (x^{3 + 3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} (3 x^{2}))$

Étape 7

Déplacez $3$ à gauche de ${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ .

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + 3 \cdot {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4})) + x^{6} (24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}))) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4

Associez des termes.

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Étape 8.4.1

Multipliez $3$ par $24$ .

$36 (x^{6} (72 x^{4})) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.2

Multipliez $x^{6}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$36 (x^{4} x^{6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 (x^{4 + 6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.2.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$36 (x^{10} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.3

Déplacez $72$ à gauche de $x^{10}$ .

$36 (72 \cdot x^{10}) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.4

Multipliez $72$ par $36$ .

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.5

Multipliez $24$ par $7$ .

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} \cdot 168) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.6

Déplacez $168$ à gauche de $x^{6}$ .

$2592 x^{10} + 36 (168 \cdot x^{6}) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.7

Multipliez $168$ par $36$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

Étape 8.4.8

Multipliez $3$ par $36$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2}$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

Étape 8.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.6.1

Réécrivez ${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ comme $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} ((3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7))$

Étape 8.6.2

Développez $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4} + 7) + 7 (3 x^{4} + 7))$

Étape 8.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4} + 7))$

Étape 8.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Étape 8.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.6.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Étape 8.6.3.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.6.3.1.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Étape 8.6.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4 + 4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Étape 8.6.3.1.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Étape 8.6.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Étape 8.6.3.1.4

Multipliez $7$ par $3$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

Étape 8.6.3.1.5

Multipliez $3$ par $7$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 7 \cdot 7)$

Étape 8.6.3.1.6

Multipliez $7$ par $7$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 49)$

Étape 8.6.3.2

Additionnez $21 x^{4}$ et $21 x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 42 x^{4} + 49)$

Étape 8.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8}) + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

Étape 8.6.5

Simplifiez

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Étape 8.6.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

Étape 8.6.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 108 x^{2} \cdot 49$

Étape 8.6.5.3

Multipliez $49$ par $108$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Étape 8.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.6.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.6.6.1.1

Déplacez $x^{8}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 (x^{8} x^{2}) + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Étape 8.6.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{8 + 2} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Étape 8.6.6.1.3

Additionnez $8$ et $2$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Étape 8.6.6.2

Multipliez $108$ par $9$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

Étape 8.6.6.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.6.6.3.1

Déplacez $x^{4}$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 (x^{4} x^{2}) + 5292 x^{2}$

Étape 8.6.6.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{4 + 2} + 5292 x^{2}$

Étape 8.6.6.3.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{6} + 5292 x^{2}$

Étape 8.6.6.4

Multipliez $108$ par $42$ .

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

Étape 8.7

Additionnez $2592 x^{10}$ et $972 x^{10}$ .

$3564 x^{10} + 6048 x^{6} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

Étape 8.8

Additionnez $6048 x^{6}$ et $4536 x^{6}$ .

$3564 x^{10} + 10584 x^{6} + 5292 x^{2}$