Calcul infinitésimal Exemples

$3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)]$ .

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Étape 2.1

Comme $3 \cosh (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x \cosh (y)$ par rapport à $x$ est $3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cosh (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ .

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{x \cdot - 1})]$

Étape 3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- 1 \cdot x})]$

Étape 3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- x})]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sinh (e^{- x})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$ .

$3 \cosh (y) - \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sinh (x)$ et $g (x) = e^{- x}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{- x}$ .

$3 \cosh (y) - (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sinh (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cosh (u_{1})$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{- x}$ .

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{x \cdot - 1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- 1 \cdot x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Étape 3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \cdot - 1))$

Étape 3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Étape 3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- e^{- x}))$

Étape 3.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 \cosh (y) + 1 (\cosh (e^{- x}) (e^{- x}))$

Étape 3.11

Multipliez $\cosh (e^{- x})$ par $1$ .

$3 \cosh (y) + \cosh (e^{- x}) e^{- x}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- x} \cosh (e^{- x}) + 3 \cosh (y)$