Calcul infinitésimal Exemples

$3 x \arctan (5 x)$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x \arctan (5 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \arctan (5 x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ et $x$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Associez $5$ et $\frac{x}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}}$ par $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \cdot 1)$

Étape 4.8

Multipliez $\arctan (5 x)$ par $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x))$

Étape 5

Pour écrire $\arctan (5 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 25 x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \frac{\arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 7

Associez $3$ et $\frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) \cdot 1 + \arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (5 x) + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 x + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez $\arctan (5 x)$ par $1$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (25 \arctan (5 x) x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 x^{2} \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{75 x^{2} \arctan (5 x) + 15 x + 3 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$