Calcul infinitésimal Exemples

$5 \log ({(2)}^{x + 10})$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \log (2^{x + 10})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = 2^{x + 10}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2^{x + 10}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\log (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$5 (\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

Étape 3

Associez $\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)}$ et $5$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = x + 10$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 10$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 10])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 10$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{x + 10} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $2^{x + 10}$ et $\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ .

$\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Associez $\ln (2)$ et $\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (2) (2^{x + 10} \cdot 5)}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $2^{x + 10}$ .

$\frac{\ln (2) (5 \cdot 2^{x + 10})}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Étape 5.2.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $\ln (2)$ .

$\frac{5 \cdot \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $2^{x + 10}$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Étape 5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + \frac{d}{d x} [10])$

Étape 5.5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + 0)$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \cdot 1$

Étape 5.6.2

Multipliez $\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$ par $1$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Simplifiez $5 \ln (2)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (2^{5})}{\ln (10)}$

Étape 6.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{\ln (32)}{\ln (10)}$