Calcul infinitésimal Exemples

$5 {\sin (x)}^{x}$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 {\sin (x)}^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{x}]$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sin (x)}^{x}$ comme $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}]$

Étape 2.2

Développez $\ln ({\sin (x)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$5 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (\sin (x))}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (\sin (x))$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x \ln (\sin (x))$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x \ln (\sin (x))$ .

$5 (e^{x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 8.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

Étape 8.2

Multipliez $\ln (\sin (x))$ par $1$ .

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 5 e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$