Calcul infinitésimal Exemples

$4 \ln (\tanh (\frac{x}{2}))$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (\tanh (\frac{x}{2}))$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (\tanh (\frac{x}{2}))]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (\tanh (\frac{x}{2}))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \tanh (\frac{x}{2})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tanh (\frac{x}{2})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$4 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tanh (\frac{x}{2})$ .

$4 (\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

Étape 3

Associez $\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})}$ et $4$ .

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tanh (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\tanh (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\tanh (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est ${sech}^{2} (u_{2})$ .

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} ({sech}^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} ({sech}^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez ${sech}^{2} (\frac{x}{2})$ et $\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})}$ .

$\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 5.2

Déplacez $4$ à gauche de ${sech}^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{4 \cdot {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 5.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$ .

$\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \tanh (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (\tanh (\frac{x}{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \cdot 1$

Étape 5.6

Multipliez $\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$ par $1$ .

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$