Calcul infinitésimal Exemples

$5 \cos (x) \cot (x)$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos (x) \cot (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cot (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cot (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x)))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 5 (\cot (x) (- \sin (x)))$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 (\cos (x) (\csc^{2} (x))) + 5 (\cot (x) (- \sin (x)))$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \cos (x) \csc^{2} (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 5 \csc^{2} (x) \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 5 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 5 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 5 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.4.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{- 5}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.4.6

Associez $\cos (x)$ et $\frac{5}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 5}{\sin^{2} (x)} - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.4.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (x)$ .

$- \frac{5 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 \cot (x) \sin (x)$

Étape 5.4.8

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.8.1

Ajoutez des parenthèses.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 (\cot (x) \sin (x))$

Étape 5.4.8.2

Réécrivez $- 5 \cot (x) \sin (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Étape 5.4.8.3

Annulez les facteurs communs.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 \cos (x)$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - 5 \cos (x)$

Étape 5.5.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{5}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 5 \cos (x)$

Étape 5.5.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$- (\frac{5}{\sin (x)} \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Étape 5.5.4

Séparez les fractions.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Étape 5.5.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$- (\frac{5}{1} \csc (x) \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Étape 5.5.6

Divisez $5$ par $1$ .

$- (5 \csc (x) \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Étape 5.5.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 \csc (x) \cot (x) - 5 \cos (x)$