Calcul infinitésimal Exemples

$13 x e^{- \frac{x}{8}}$

Étape 1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13 x e^{- \frac{x}{8}}$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{8}}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{8}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x}{8}}$ .

$13 (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{8}}] + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{8}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x}{8}$ .

$13 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{8}]) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$13 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{8}]) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{8}$ .

$13 (x (e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{8}]) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- \frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{8}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 (x (e^{- \frac{x}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $e^{- \frac{x}{8}}$ et $\frac{1}{8}$ .

$13 (x (- \frac{e^{- \frac{x}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x}{8}}}{8}$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + e^{- \frac{x}{8}} \cdot 1)$

Étape 4.6

Multipliez $e^{- \frac{x}{8}}$ par $1$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + e^{- \frac{x}{8}})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8}) + 13 e^{- \frac{x}{8}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$- 13 \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + 13 e^{- \frac{x}{8}}$

Étape 5.2.2

Associez $- 13$ et $\frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8}$ .

$\frac{- 13 (x e^{- \frac{x}{8}})}{8} + 13 e^{- \frac{x}{8}}$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13 x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + 13 e^{- \frac{x}{8}}$