Calcul infinitésimal Exemples

$2 \cos^{3} (e^{2 x})$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos^{3} (e^{2 x})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (e^{2 x})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (e^{2 x})$ .

$2 (3 \cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Étape 3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (\cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{2 x}$ .

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Étape 7.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 12 e^{2 x} \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x})$