Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sec^{2} (x^{7})$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec^{2} (x^{7})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{7})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{7})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x^{7})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (x^{7})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{7})])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x^{7})])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (x^{7})$ .

$2 (2 \sec (x^{7}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{7})])$

Étape 3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\sec (x^{7}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{7})])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = x^{7}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{7}$ .

$4 \sec (x^{7}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (x^{7}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{7}$ .

$4 \sec (x^{7}) (\sec (x^{7}) \tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 5

Élevez $\sec (x^{7})$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec^{1} (x^{7}) \sec (x^{7})) (\tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 6

Élevez $\sec (x^{7})$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec^{1} (x^{7}) \sec^{1} (x^{7})) (\tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\sec (x^{7})}^{1 + 1} (\tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sec^{2} (x^{7}) (\tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$4 \sec^{2} (x^{7}) \tan (x^{7}) (7 x^{6})$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Multipliez $7$ par $4$ .

$28 \sec^{2} (x^{7}) \tan (x^{7}) x^{6}$

Étape 10.2

Réorganisez les facteurs de $28 \sec^{2} (x^{7}) \tan (x^{7}) x^{6}$ .

$28 x^{6} \sec^{2} (x^{7}) \tan (x^{7})$