Calcul infinitésimal Exemples

$1 - \arctan (e^{x})$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \arctan (e^{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \arctan (e^{x})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} e^{x})$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} e^{x})$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x})$

Étape 2.5

Associez $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ et $e^{x}$ .

$0 - \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

Étape 3

Soustrayez $\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$ de $0$ .

$- \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$