Calcul infinitésimal Exemples

$16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Étape 1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $2$ par $16$ .

$32 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.4

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 0)$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x)$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $32$ .

$64 (x^{2} + y^{2}) x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(64 x^{2} + 64 y^{2}) x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$64 x^{2} x + 64 y^{2} x$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$64 (x^{1} x^{2}) + 64 y^{2} x$

Étape 4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$64 x^{1 + 2} + 64 y^{2} x$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$64 x^{3} + 64 y^{2} x$