Calcul infinitésimal Exemples

$2 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

Étape 1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)]$

Étape 2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

Étape 3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)]$

Étape 3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ et $g (x) = 4 x - 3$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x - 3] + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Étape 6.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Étape 6.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Étape 6.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Étape 6.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 6 x + 9$ .

$2 (4 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

Étape 6.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 6.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 6.9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 6.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 6.11

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 6.12

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 + 0))$

Étape 6.13

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9 + (4 x - 3) (2 x - 6))$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 ((4 x - 3) (2 x - 6))$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 ((4 x - 3) (2 x) + (4 x - 3) \cdot - 6)$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x) - 3 (2 x) + (4 x - 3) \cdot - 6)$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x) - 3 (2 x) + 4 x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6)$

Étape 7.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7

Associez des termes.

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Étape 7.7.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.2

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$8 x^{2} + 2 (- 24 x) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.3

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$8 x^{2} - 48 x + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.4

Multipliez $4$ par $9$ .

$8 x^{2} - 48 x + 2 \cdot 36 + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.5

Multipliez $2$ par $36$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x \cdot x) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 (x^{1} x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x^{1 + 1}) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.11

Multipliez $8$ par $2$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.12

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.13

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.14

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x + 2 (- 24 x) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.15

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 2 (- 3 \cdot - 6)$

Étape 7.7.16

Multipliez $- 3$ par $- 6$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 2 \cdot 18$

Étape 7.7.17

Multipliez $2$ par $18$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 36$

Étape 7.7.18

Soustrayez $48 x$ de $- 12 x$ .

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 60 x + 36$

Étape 7.7.19

Additionnez $8 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$24 x^{2} - 48 x + 72 - 60 x + 36$

Étape 7.7.20

Soustrayez $60 x$ de $- 48 x$ .

$24 x^{2} - 108 x + 72 + 36$

Étape 7.7.21

Additionnez $72$ et $36$ .

$24 x^{2} - 108 x + 108$