Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{x} \sin (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$x e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 5.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x} + e^{x})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x e^{x} \cos (x) + \sin (x) (x e^{x}) + \sin (x) e^{x}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x \cos (x) + e^{x} x \sin (x) + e^{x} \sin (x)$