Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} + y e^{x^{2}} + 5$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + y e^{x^{2}} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$y^{2} + y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$y^{2} + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y^{2} + y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$y^{2} + y (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} + y e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y^{2} + y e^{x^{2}} (2 x) + 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Additionnez $y^{2} + y e^{x^{2}} (2 x)$ et $0$ .

$y^{2} + y e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 e^{x^{2}} x y$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y^{2} + 2 e^{x^{2}} x y$ .

$y^{2} + 2 x y e^{x^{2}}$