Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x y}{8 x + 3 y}$

Étape 1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x y}{8 x + 3 y}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{8 x + 3 y}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{8 x + 3 y}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 8 x + 3 y$ .

$y \frac{(8 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \frac{(8 x + 3 y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $8 x + 3 y$ par $1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x \frac{d}{d x} [8 x + 3 y]}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez $8$ par $1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 + \frac{d}{d x} [3 y])}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x (8 + 0)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez les termes.

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Étape 3.8.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$y \frac{8 x + 3 y - x \cdot 8}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y \frac{8 x + 3 y - 8 x}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Soustrayez $8 x$ de $8 x$ .

$y \frac{3 y + 0}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.8.4

Additionnez $3 y$ et $0$ .

$y \frac{3 y}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 3.8.5

Associez $y$ et $\frac{3 y}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{y (3 y)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (y^{1} y)}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (y^{1} y^{1})}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 y^{1 + 1}}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 y^{2}}{{(8 x + 3 y)}^{2}}$