Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{y}{x + 3 y^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y}{x + 3 y^{2}}$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3 y^{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3 y^{2}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x + 3 y^{2}}$ comme ${(x + 3 y^{2})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x + 3 y^{2})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 3 y^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3 y^{2}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3 y^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3 y^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3 y^{2}$ .

$- y (- {(x + 3 y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3 y^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y ({(x + 3 y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3 y^{2}])$

Étape 3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y ({(x + 3 y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3 y^{2}])$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$y ({(x + 3 y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y ({(x + 3 y^{2})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]))$

Étape 3.5

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y ({(x + 3 y^{2})}^{- 2} (1 + 0))$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$y ({(x + 3 y^{2})}^{- 2} \cdot 1)$

Étape 3.6.2

Multipliez ${(x + 3 y^{2})}^{- 2}$ par $1$ .

$y {(x + 3 y^{2})}^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{{(x + 3 y^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Associez $y$ et $\frac{1}{{(x + 3 y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y}{{(x + 3 y^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y}{{(3 y^{2} + x)}^{2}}$