Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 6}{\sqrt{x^{2} + 6}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 6}$ comme ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 6$ et $g (x) = {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Étape 5.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Étape 5.4.2

Multipliez ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 6$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + 6$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + 6$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 11.3

Placez ${(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]))}{x^{2} + 6}$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [6]))}{x^{2} + 6}$

Étape 14

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{x^{2} + 6}$

Étape 15

Simplifiez les termes.

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Étape 15.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{x^{2} + 6}$

Étape 15.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} x)}{x^{2} + 6}$

Étape 15.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 15.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 15.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) \frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.1

Laissez $u_{2} = {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 16.2.1.1

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- x - 6) x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x \cdot x - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - (x \cdot x) - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x^{2} - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.3

Simplifiez

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Étape 16.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 16.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{1} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.3.1.2

Simplifiez

$\frac{\frac{x^{2} + 6 - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.3.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 6 - x^{2} - 6 x$ .

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Étape 16.2.3.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 6 - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$\frac{\frac{6 - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.4

Factorisez $6$ à partir de $6 - 6 x$ .

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Étape 16.2.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{\frac{6 (1) - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.4.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{\frac{6 (1) + 6 (- x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.2.4.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (1) + 6 (- x)$ .

$\frac{\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Étape 16.3

Associez des termes.

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Étape 16.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$ comme un produit.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6}$

Étape 16.3.2

Multipliez $\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} + 6}$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 6)}$

Étape 16.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 6$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.3.3.1

Multipliez ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 6$ .

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Étape 16.3.3.1.1

Élevez $x^{2} + 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6)}^{1}}$

Étape 16.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 16.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 16.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 16.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$