Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sin (8 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (8 x)$ .

$x (- \frac{1}{8} \cos (8 x)) - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\cos (8 x)$ et $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{\cos (8 x)}{8}) - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} - (- \frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + 1 (\frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 8 x$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 5.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \cos (u) \frac{1}{8} d u$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \frac{\cos (u)}{8} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} (\frac{1}{8} \int \cos (u) d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8 \cdot 8} \int \cos (u) d u$

Étape 8.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} \int \cos (u) d u$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} (\sin (u) + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Réécrivez $- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} (\sin (u) + C)$ comme $- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x}{8} \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

Étape 10.2.2

Associez $\cos (8 x)$ et $\frac{x}{8}$ .

$- \frac{\cos (8 x) x}{8} + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$- \frac{\cos (8 x) x}{8} + \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (8 x) x}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$