Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} {(x - 3)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 3) (x - 3))]$

Étape 2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

Étape 3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 6 x + 9)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$x^{4} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{4} (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5.7

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$x^{4} (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (4 x^{3})$

Étape 5.9

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{4} (2 x - 6) + 4 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) x^{3}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + 4 (x^{2} - 6 x + 9) x^{3}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + (4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9) x^{3}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4

Associez des termes.

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Étape 6.4.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 6.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 6 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 6 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.4.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.5

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.6

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 (x^{3} x) + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.6.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 6.4.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{3 + 1} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{4} + 4 \cdot 9 x^{3}$

Étape 6.4.7

Multipliez $4$ par $9$ .

$2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{5} - 24 x^{4} + 36 x^{3}$

Étape 6.4.8

Additionnez $2 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 6 x^{4} - 24 x^{4} + 36 x^{3}$

Étape 6.4.9

Soustrayez $24 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$